The Book's Basic Idea
in concise terms (German version below)
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Let's start with two questions, easily put, but not to be answered as easily:
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The major scale - what's so special about it? And why these 7 notes out of 12?
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Free musical speech - summary of the basic ideas
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Have you ever posed yourself the questions above? What is so special about the 7 notes that have been called A, B, C, D, E, F, G, and why 7 notes, and not more, or less? Is it arbitrary, or is there a hidden reason for this?
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Our ear seems to tell us, somehow, that it is not arbitrary, that it makes good sense to choose exactly these 7 out of 12 notes, and give them a name; which (starting from C) is, as most people know, the ‘C major scale’.
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But our ear cannot speak one of our human languages, and so, it cannot talk to us about the nature of this ‘good sense’…
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I myself did already wonder about these things when I was a young person. I did not exactly pose myself these questions in the sense that I would try to find answers to them, or to find someone who would answer them for me, but I remember having been aware of these questions, in the back of my mind.
Definitely no-one turned up in the last decades and gave me the answers, or even talked to me about these phenomenons.
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Perusing the web these days, I found a lot of stuff about the second question (why seven notes?); including an explanation of cognitive psychologists, who found in studies that people could remember a sequence of up to seven notes, but not much more.
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What I did not find was something like a mathematical derivation from any well-defined principles.
But there is one, which I would like to outline here.
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I did not find it in a straightforward search, I found it as a by-product of my researches following a different track.
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Having observed the endeavours of musicians in the last decades to develop a musical language in which they could speak freely, without the boundaries of any predetermined concept (like people who start talking about the weather simply because they watch the rain outside their windows, then abruptly change to the topic of their mutual health, and so on, in a free associative way), I occupied myself with questions about the possible nature of something like a ‘grammar of free musical speech’, and came up, by the invaluable help of some mathematicians, with a body of scales, the ‘simplicial complex’ (a name given to it by the mathematicians) of the ‘non-chromatic scales’ of the 12-tone-system - among them, 57 maximal ones, called the ‘facets’ of this simplicial complex.
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Now, as all classical major and minor scales are among those facets, as well as other well-known and frequently used scales in music, like the melodic and harmonic minor scales, it seemed to me to make sense to call these 57 facets the ‘generalized tonalities’ of the 12-tone-space.
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This approach amounts to a systematization of the 12-tone-space and its scales and is, up to this day, at least for me myself, the background of a very satisfactory and inspiring practical approach to the free use of the musical language.
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And, what is more, it leads to convincing (at least to me) answers of the questions above: why exactly the 7 notes A, B, C, D, E, F, G out of 12, and why not more, or less?
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Without specifying the details of my approach, which I will do further below, I would like to give you the rough answers right now (which I do with the purpose to arouse your curiosity, I frankly admit):
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(If you want to go on reading; continue here:)
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You will need these denotation infos:
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At some places I refer to this document:
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- and finally, the english version of an article that I wrote, together with mathematician Prof. Dr. Kathlén Kohn (KTH Stockholm), for a German math journal (mitteilungen der deutschen mathematikervereinigung, 2017). Indeed the mathematicians, rather than the musicians, were the first to show an interest in my bode of 57 maximal non-chromatic scales, which they were quick to identify as an example of a peculiar topological beast called 'simplicial complex':
Die dur-tonleiter – was ist an ihr so besonders? Und warum genau diese 7 von 12 tönen?
Freie musikalische rede - zusammenfassung der grundideen
Haben Sie sich jemals die obigen fragen gestellt? Was ist so besonders an diesen 7 tönen, die A, B, C, D, E, F, G genannt worden sind, und warum 7 noten, und nicht mehr, oder weniger? Ist das beliebig, oder gibt es irgendeine verborgene bedeutung?
Unser ohr scheint uns irgendwie zu sagen, dass es nicht beliebig ist, dass es sinn macht, genau diese 7 der 12 töne auszuwählen und ihnen einen namen zu geben, der (von C ausgehend) ‘C-dur-tonleiter’ ist, wie die meisten wissen.
Aber unser ohr kann nicht eine unserer menschlichen sprachen sprechen, weshalb es uns nicht mitteilen kann, worin dieser sinn besteht...
Ich selbst habe mich schon als junger mensch über diese dinge gewundert. Ich habe mir nicht gerade diese fragen in dem sinne gestellt, dass ich versucht hätte, antworten darauf zu finden, oder jemanden zu finden, der sie mir hätte beantworten können, aber ich erinnere mich, mir dieser fragen bewusst gewesen zu sein.
Auf jeden fall tauchte niemand in den vergangenen jahrzehnten auf, der mir diese fragen beantwortet hätte oder überhaupt mit mir über diese phänomene gesprochen hätte.
Als ich dieser tage das web durchforstete, fand ich eine menge material über die zweite frage (warum 7 töne?), inklusive eine erklärung kognitiver psychologen, die in studien herausgefunden hatten, dass menschen eine reihe von bis zu sieben tönen erinnern konnten, aber nicht viel mehr. Was ich nicht fand, war so etwas wie eine mathematische herleitung aus irgendwelchen wohldefinierten prinzipien.
Aber es gibt eine, die ich gerne hier darlegen möchte.
Es ist nicht so, dass ich sie in einer direkten suche danach gefunden hätte – ich fand sie als nebenprodukt meiner untersuchungen in einer ganz anderen richtung.
Nachdem ich die bemühungen von musiker*innen in den letzten jahrzehnten beobachtet hatte, eine musikalische sprache zu entwickeln, in der sie frei sprechen konnten, ohne die begrenzungen irgendeines vorher festgelegten konzepts (so ähnlich wie menschen, die z.b. anfangen, sich über das wetter zu unterhalten, einfach weil sie den regen ausserhalb ihrer fenster wahrnehmen, und dann abrupt zum thema ihrer mehr oder weniger robusten gesundheit überzugehen, und so weiter, in einer freien assoziativen weise), beschäftigte ich mich mit fragen über die mögliche natur einer ‘grammatik der freien musikalische rede’, und entwickelte, mit der unschätzbaren hilfe einiger mathematiker*innen, das konzept einer menge von skalen, dem ‘simplizialkomplex’ (wie sie die mathematiker*innen nannten) der ‘nicht-chromatischen skalen’ des 12-ton-systems – unter ihnen 57 maximale skalen, die die ‘facetten’ dieses simplizialkomplexes genannt wurden.
Und da sich alle klassischen dur- und moll-skalen unter diesen facetten befinden, ebenso wie andere in der musik wohlbekannte und häufig verwendete tonleitern, wie etwa die melodisch- und harmonisch-moll-skalen, erschien es mir sinnvoll, diese 57 facetten die ‘verallgemeinerten tonarten’ des 12-ton-raums zu nennen.
Dieser ansatz ist gleichbedeutend mit einer systematisierung des 12-ton-raums und seiner skalen und ist bis heute, zumindest für mich selber, die grundlage für einen sehr befriedigenden und inspirierenden zugang zum freien gebrauch der musikalischen sprache.
Und mehr als das, es ergaben sich daraus (zumindest mich) überzeugende antworten auf die obigen fragen: warum genau die 7 töne A, B, C, D, E, F, G von 12, und warum nicht mehr, oder weniger?
Zunächst ohne hier ins detail zu gehen, was ich weiter unten tun werde, möchte ich die ungefähren antworten jetzt gleich geben (zugegebenermassen um Ihre aufmerksamkeit zu erregen…).
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(Falls Sie mehr lesen möchten, hier der restliche text:)
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Die verwendeten bezeichnungen, ausführlich erklärt:
​​​​​​und an manchen stellen nehme ich bezug auf 'relations between tonalities', s. oben, unter dem engl. text.
​​​​​​- Und hier die deutsche fassung eines artikels, den ich mit der Mathematikerin Prof. Dr. Kathlén Kohn (KTH Stockholm) für eine deutsche mathe-zeitschrift schrieb (mitteilungen der deutschen mathematikervereinigung, 2017). Tatsächlich waren die mathematiker*innen, noch vor den musiker*innen, die ersten, die sich für mein konstrukt von 57 maximalen nicht-chromatischen skalen interessierten, das sie ziemlich schnell als exemplar eines merkwürdigen topolopgischen viehs mit dem namen 'simplizialkomplex' identifizierten:
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